Разделить столбиком

Пример деления столбиком

Предположим, что нам нужно разделить число 102 на 4

Разберем это на картинке :

Первое, поскольку у нас цифра 4 однозначное, то проверяем первую цифру слева — это 1, то понятно, что 1 меньше 4, а нам нужно наоборот. Например, если бы перове число слева было бы рано 5, то нам не пришлось бы брать вторую цифру в делимом.

Берем двузначное число слева — это 10 и сравниваем с нажим делителем… 10 больше 4, теперь, все правильно, далее нам потребуется узнать «нод» двух чисел.

Не буду повторять, что такое «нод» — лишь покажу на примере, как мы видим, цифру 10 и делитель 4, то их общий нод будет 2. Или другими словами, в числе 10 умещается всего 2 числа 4…

Этот нод заносим под горизонтальную черту в область частного и умножаем его на 4 — это будет 8, и 8 ставим под ноль

От 10 отняли 8 и ставим его под черту под цифру 8 и если это число получилось меньше 4, то значит нод был найден верно! И нодом нам придется пользоваться много раз, поэтому нужно научиться его находить!

Теперь, у нас в самом верху еще осталась одна двойка, её сносим ниже к двойке, которая получилась отниманием от 10 восьмерки, получается число 22.

Далее опять находим нод чисел 22 и 4 — это 5,

5 заносим его под черту, ставим его после первого найденого нода.

Умножаем 5 на 4 — это будет 20,

20 ставим под 22.

Отнимем опять и получим 2 — это остаток.

Поскольку у нас наверху не осталось цифр, то ставим 0 и у нас получается 1020 — это означает, что мы перешли из целых в десятые, поэтому, под черту, рядом с пятеркой ставим точку(или запятую(зависит от того, как вас будут учить… )).

Сносим наш ноль до остатка, что получается 20.

Находим нод 20 и 4 — это опять 5.

Заносим 5 под черту рядом с запятой.

Умножаем 4 на 5 = 20.

Ставим его под нашим остатком и нулем.

Отнимаем — получаем ноль.

Решение задач с единицами массы

Ребята, какие единицы массы вы знаете? Давайте вспомним!

Игра

В каждом столбике найди «лишнее» слово, обоснуй свой ответ.

Вспомним таблицу единиц массы.

Задача

В тепличном хозяйстве выращивают огурцы и помидоры. В первой теплице собрали 132 кг огурцов. Во второй теплице собрали 1 ц 56 кг помидоров. Урожай огурцов или помидоров богаче и на сколько килограммов?

Разберем задачу вместе.

Выразим 1 ц 56 кг в килограммах. Из таблицы видим, что 1 ц = 100 кг, значит,

1 ц 56 кг = 156 кг

156 – 132 = 14 (кг) – собрали больше помидоров, чем огурцов.

Ответ: на 14 кг больше.

Следующую задачу решите самостоятельно. Проверьте по образцу.

Задача

5 т яблок разложили в ящики по 10 кг в каждый и отправили в хранилище. 120 ящиков с яблоками развезли в магазины города. Сколько килограммов яблок осталось в хранилище.

Проверь себя.

5 т = 5 000 кг

• 5 000 : 10 = 500 (ящ.) – с яблоками отправили в хранилище.
• 500 – 120 = 380 (ящ.) – с яблоками осталось в хранилище.
• 380 ∙ 10 = 3 800 (кг) – яблок в хранилище.

Ответ: 3 800 кг.

Решение задачи можно записать выражением: (5 000 : 10 – 120) ∙10 = 3 800

А теперь разберем задачу, в которой встретится деление с остатком.

Задача

В хозяйстве собрали 5 ц клубники. 300 кг клубники оставили в ящиках, а остальную клубнику расфасовали в небольшие контейнеры по 300 г. Сколько контейнеров с клубникой получилось? Сколько граммов клубники осталось?

Сначала выразим 5 ц в килограммах.

5 ц = 500 кг

Узнаем, сколько кг клубники расфасовали в контейнеры.

500 – 300 = 200 (кг) – расфасовали в контейнеры.

Выразим 200 кг в граммах.

200 кг = 200 000 г.

Разделим 200 000 на 300 столбиком.

Сделаем вывод: если в условии задачи содержатся разные единицы массы, то необходимо выразить их в одинаковых единицах.

Сегодня на уроке мы научились делить столбиком на двузначные числа с остатком и без остатка, повторили единицы массы, решали задачи.

До новых встреч! Успехов в учебе!

Карточка 2

Сосчитай, записывая примеры в столбик.

32+49	37-16
46+24	70-48
83+8	53-38
38+32	45-8

Сосчитай, записывая примеры в столбик.

80-67	45+14
93-48	38+47
59-42	75+8
36-9	68+27

Сосчитай, записывая примеры в столбик.

46+37	80-38
22+58	93-56
59+9	75-9
64+27	87-32

Карточка 7

В летний лагерь приехали дети на двух автобусах. В первом автобусе было 46 детей, а во втором — на 8 детей меньше. Сколько всего детей приехало в школьный лагерь?

3∙7	2∙9	5∙3	9∙0
20:4	70:10	8∙10	32:4
27:3	21:7	7∙4	8∙3

c∙4=12

6∙c=18

27:c=3

2∙7	5∙9	8∙3	8∙4
25:5	8∙10	7∙0	60:6
36:4	16:4	21:7	15:3

c∙3=12

8∙c=24

25:c=5

2∙7	5∙9	8∙3	8∙4
25:5	8∙10	7∙0	60:6
36:4	16:4	21:7	15:3

c∙3=12

8∙c=24

25:c=5

2∙7	5∙9	8∙3	8∙4
25:5	8∙10	7∙0	60:6
36:4	16:4	21:7	15:3

c∙3=12

8∙c=24

25:c=5

Найди значение выражения, решая по действиям.

60-(8∙3)+(4∙7)

Найди значение выражения, решая по действиям.

70-(7∙3)+(8∙4)

Найди значение выражения, решая по действиям.

64-(27+14)+(6∙4)

Найди значение выражения, решая по действиям.

60-(8∙3)+(4∙7)

Найди значение выражения, решая по действиям.

38+(6∙3)-(4∙7)

Карточка 20

На зиму мама закрыла 4 банки вишнёвого варенья, а малинового — в 3 раза больше. Сколько банок малинового варенья закрыла мама? Сколько всего банок закрыла мама на зиму?

Карточка 21

В первый день маляр покрасил 5 скамеек, а во второй — в 4 раза больше. Сколько скамеек покрасил маляр во второй день? Сколько всего скамеек покрасил маляр за два дня?

Карточка 22

Пятачок за неделю съел 3 баночки мёда, в Винни-Пух — в 3 раза больше. Сколько баночек мёда съел Винни-Пух? Сколько баночек мёда они съели вместе?

Карточка 23

Перед домом посадили 4 ели, а берёз — в 3 раза больше. Сколько посадили берёз? Сколько всего деревьев посадили перед домом?

Карточка 24

Денис нарисовал 16 флажков, а Дима — в 4 раза меньше. Сколько флажков нарисовал Дима? Сколько всего флажков нарисовали мальчики?

Карточка 25

Алёна придумала 12 загадок, а Максим — в 2 раза меньше. Сколько загадок придумал Максим? Сколько всего загадок придумали оба мальчика?

Карточка 26

Мастер за день изготовил 24 детали, а его ученик — в 3 раза меньше. Сколько деталей изготовил ученик? Сколько всего деталей они изготовили вместе?

Карточка 28

На первом острове живёт 32 индейца, а на втором — в 4 раза меньше. Сколько индейцев живёт на втором острове? Сколько всего индейцев на двух островах?

Карточка 29

В куске было 54 метра ткани. Из этой ткани сшили 8 курток, расходуя по 3 метра на каждую. Сколько метров ткани осталось в куске?

В театре ученики первого класса заняли в партере 2 ряда по 9 мест и еще 13 мест в амфитеатре. Сколько всего мест заняли ученики первого класса?

Актовый зал освещает 6 люстр по 8 лампочек в каждой, да еще 7 лам­почек над сценой. Сколько всего лампочек освещает актовый зал?

К празднику купили 4 набора шариков по 10 штук в каждом наборе. Лопнули 12 шариков. Сколько шариков осталось на празднике?

В 3 одинаковых наборах 18 карандашей. Сколько карандашей будет в 7 таких наборах?

Начерти таблицу и реши задачу.

Для изготовления 5 одинаковых конструкторов потребовалось 35 деталей. Сколько деталей нужно для изготовления 8 таких конструкторов?

Начерти таблицу и реши задачу.

Крупу разложили на 6 одинаковых упаковок общей массой 12 кг. Сколько упаковок получится из 20 кг?

Начерти таблицу и реши задачу.

В 3 банки для засолки разложили 12 кг помидоров. Сколько банок потребуется для засолки 32 кг помидоров?

Начерти таблицу и реши задачу.

На 32р. купили 4 тетради. Сколько тетрадей можно купить на 56 рублей? на 16 рублей?

Начерти таблицу и реши задачу.

В 2 ведра помещается 16 кг картофеля. Сколько вёдер нужно, чтобы разложить 24 кг картофеля?

Начерти таблицу и реши задачу.

В 4 наборах 32 листа цветной бумаги. Сколько наборов составляют 72 листа бумаги?

Начерти таблицу и реши задачу.

• Начерти прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см. Найди его площадь и периметр.
• Сравни:

12 смc1см2мм	7 мc74 дм	9 ммc1 см
14 смc1дм4см	8см7ммc90 мм	100 смc1 м

• Начерти прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см. Найди его площадь и периметр.
• Сравни:

14 смc1см4мм	9 мc94 дм	9 ммc1 см
18 смc1дм8см	6см7ммc70 мм	10 смc1 дм

Расставь знаки «+», «-», «·», «: » так, чтобы равенства стали верными.

26*6*7=13	2*2*4=0
7*9*2=18	8*9*2=70
9*9*2=20	8*4*2=30
9*2*2=16	40*5*7=56

Из 12 м ткани портной сшил 6 одинаковых костюмов. Сколько метров ткани потребуется на 10 таких костюмов? на 7 костюмов?

Начерти таблицу и реши задачу.

В огороде собрали 24 кг моркови, редиса — в 4 раза меньше, чем моркови, а чеснока — в 5 раз больше, чем редиса. Сколько килограммов чеснока собрали?

Из 15 м тюля сшили 5 одинаковых занавесок. Сколько таких занавесок можно сшить из 21 м тюля? Сколько понадобится тюля, чтобы сшить 9 таких занавесок?

Начерти таблицу и реши задачу.

Обучение делению в столбик в тетради

Начинать обучение нужно тогда, когда ученик понял материал о делении на практике, с помощью игры и таблицы умножения.

Пример деления

Нужно начинать делить таким образом, применяя простые примеры. Так, деление 105 на 5.

Объяснять математическое действие нужно подробно:

• Напишите в тетради пример: 105 разделить на 5.
• Запишите это, как при делении в столбик.
• Расскажите, что 105 – делимое, а 5 – делитель.
• С учеником определите 1 цифру, которая допускает деление. Значение делимого – 1, эта цифра не делится на 5. А вот второе число – 0. В итоге получится 10, это значение допускается разделить данный пример. Число 5 два раза входит в число 10.
• В столбике деления, под числом 5, напишите цифру 2.
• Попросите ребенка число 5 умножить на 2. По итогу умножения получится 10. Это значение нужно записать под числом 10. Далее нужно написать в столбике знак вычитания. От 10 нужно отнять 10. Получится 0.
• Запишите в столбике число, получившееся в результате вычитания – 0. У 105 осталось число, которое не участвовало в делении – 5. Это число нужно записать.
• В итоге получится 5. Это значение нужно разделить на 5. Результат – цифра 1. Это число нужно записать под 5. Результат деления – 21.

Родителям нужно объяснить, что это деление не имеет остатка.

Начать деление можно с цифр 6,8,9, затем переходить к 22, 44, 66, а после к 232, 342, 345, и так далее.

Еще один пример деления

Основные понятия

Во всем мире принято использовать эти десять цифр для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью создается любое натуральное число.

Название числа напрямую зависит от количества знаков.

• Однозначное — состоит из одного знака
• Двузначное — из двух
• Трехзначное — из трех и так далее.

Разряд — это позиция, на которой стоит цифра в записи. Их принято отсчитываются с конца.

Разряд единиц — то, чем заканчивается любое число. Разряд десятков — то, что находится перед разрядом единиц. Разряд сотен стоит перед разрядом десятков. На место отсутствующего разряда всегда можно поставить ноль.

В числе 429 содержится 0 тысяч, 4 сотни, 2 десятка и 9 единиц.

Умножение — арифметическое действие в котором участвуют два аргумента. Один множимый, второй множитель. Результат их умножения называется произведением.

Свойства умножения 1. От перестановки множителей местами произведение не меняется. a * b = b * a 2. Результат произведения трёх и более множителей не изменится, если любую группу заменить произведением. a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c) Самое главное в процессе вычисления — это знание таблицы умножения. Это сделает подсчет упорядоченным и быстрым.

Важно помнить правило: умножение в столбик с нулями дает в результате ноль

а * 0 = 0, где а — любое натуральное число.

Алгоритм умножения в столбик

Чтобы понять, как умножать в столбик — рассмотрим действия по шагам:

1. Запишем пример в строку. Выберем и подчеркнем из двух чисел наименьшее, чтобы не забыть при новой записи поставить его вниз.

2. Записываем произведение в виде столбика. Сначала наибольший множитель, затем наименьший, тот что мы подчеркнули ранее. Слева ставим соответствующий знак и проводим черту под которой будем записывать ход решения

Важно обратить внимание разряды, чтобы единицы стояли стоять под единицами, десятки под десятками и т. д

3. Поэтапно производим необходимые действия. Каждую цифру первого множителя нужно умножить на крайнюю цифру второго. Это действие происходит справа налево: единицы, десятки, сотни.

Если результат получится двузначным, под чертой записывается только последняя его цифра. Остальное переносим в следующий разряд путем сложения со значением, полученным при следующем умножении.

4. После умножения на единицу второго множителя с остальными цифрами необходимо провести аналогичные манипуляции. Результаты записывать под чертой, сдвигаясь влево на одну позицию.

5. Складываем то, что нашли и получаем ответ.

Умножение на однозначное число

Для решения задачи по произведению двух натуральных чисел, одно из которых однозначное, а другое — многозначное, нужно использовать способ столбика. Для вычисления воспользуемся последовательностью шагов, которую рассмотрели выше. 

Возьмем пример 234 * 2:

1. Запишем первый множитель, а под ним второй. Соответствующие разряды расположены друг под другом. Двойка находится под четверкой.

2. Последовательно умножаем каждое число в первом множителе на второй, начиная с единиц и продвигаясь к десяткам и сотням.

3. Ответ запишем под чертой:

Производить действия необходимо в следующей последовательности:

Умножение двух многозначных чисел

Если оба множителя — многозначные натуральные числа, нужно действовать следующим образом.

Рассмотрим пример 207 * 8063:

1. Сначала запишем наибольшее 8063, затем наименьшее 207. Нужно разместить цифры друг под другом справа налево:

1. Последовательно перемножаем значения разрядов. Результатом является неполное произведение.

1. Далее перемножаем десятки. Первый множитель умножим на значение разряда десятков второго и т.д. Результат запишем под чертой.

1. По аналогии действуем с сотыми. Ноль пропускаем в соответствии с правилом. Так получилось второе неполное произведение:

1. Далее складываем два произведения в столбик. 

1. Получившееся семизначное число — результат умножения исходных натуральных чисел.

Ответ: 8 063 * 207 = 1669041. 

Примеры на умножение в столбик

Самостоятельное решение задачек помогает быстрее запомнить правила и натренировать скорость

Неважно, в каком классе учится ребенок — в 1, 3 или 4 — эти примеры подойдут всем

Повтори тему — деление в столбик, она очень полезная!

Разбор примеров на деление столбиком на двузначное число

Сначала рассмотрим простые случаи деления, когда в частном получается однозначное число.

Первое неполное делимое 265. Больше в делимом цифр нет. Значит в частном будет однозначное число.

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 265 не на 53, а на близкое круглое число 50. Для этого 265 разделим на 10, будет 26 (остаток 5). И 26 разделим на 5, будет 5 (остаток 1). Цифру 5 нельзя сразу записывать в частном, поскольку это пробная цифра. Сначала нужно проверить, подойдет ли она. Умножим 53*5=265. Мы видим, что цифра 5 подошла. И теперь можем ее записать в частном под уголок. 265-265=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 265 и 53 равно 5.

Иногда при делении пробная цифра частного не подходит, и тогда ее нужно менять.

В частном будет однозначное число. 

Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 184 не на 23, а на 20. Для этого разделим 184 на 10, будет 18 (остаток 4). И 18 разделим на 2, будет 9. 9 – это пробная цифра, мы ее сразу писать в частном не будем, а проверим, подойдет ли она. Умножим 23*9=207. 207 больше, чем 184. Мы видим, что цифра 9 не подходит. В частном будет меньше 9. Попробуем, подойдет ли цифра 8. Умножим 23*8=184. Мы видим, что цифра 8 подходит. Можем ее записать в частном. 184-184=0. Деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 184 и 23 равно 8.

Рассмотрим более сложные случаи деления.

Первое неполное делимое – 76 десятков. Значит, в частном будут 2 цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 76 на 24. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 76 не на 24, а на 20. То есть нужно 76 разделить на 10, будет 7 (остаток 6). И 7 разделим на 2, получится 3 (остаток 1). 3 – это пробная цифра частного. Сначала проверим, подойдет ли она. Умножим 24*3=72 . 76-72=4. Остаток меньше делителя. Значит, цифра 3 подошла и теперь мы ее можем записать на месте десятков частного. 72 пишем под первым неполным делимым, между ними ставим знак минус, под чертой записываем остаток.

Продолжим деление. Перепишем в строку с остатком цифру 8, следующую за первым неполным делимым. Получим следующее неполное делимое – 48 единиц. Разделим 48 на 24. Чтобы было легче подобрать цифру частного, разделим 48 не на 24, а на 20. То есть разделим 48 на 10, будет 4 (остаток 8). И 4 разделим на 2, будет 2. Это пробная цифра частного. Мы должны сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 24*2=48. Мы видим, что цифра 2 подошла и, значит, можем ее записать на месте единиц частного. 48-48=0, деление выполнено без остатка.

 Значение частного чисел 768 и 24 равно 32.

Первое неполное делимое – 153 сотни, значит, в частном будут три цифры.

Определим первую цифру частного. Разделим 153 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 153 не на 56, а на 50. Для этого разделим 153 на 10, будет 15 (остаток 3). И 15 разделим на 5, будет 3. 3 – это пробная цифра частного. Помните: ее нельзя сразу записывать в частном, а нужно сначала проверить, подойдет ли она. Умножим 56*3=168. 168 больше, чем 153. Значит, в частном будет меньше, чем 3. Проверим, подойдет ли цифра 2. Умножим 56*2=112. 153-112=41. Остаток меньше делителя, значит, цифра 2 подходит, ее можно записать на месте сотен в частном.

Образуем следующее неполное делимое. 153-112=41. Переписываем в ту же строку цифру 4, следующую за первым неполным делимым. Получаем второе неполное делимое  414 десятков. Разделим 414 на 56. Чтобы удобнее было подобрать цифру частного, разделим 414 не на 56, а на 50. 414:10=41(ост.4). 41:5=8(ост.1). Помните: 8 – это пробная цифра. Проверим ее. 56*8=448. 448 больше, чем 414, значит, в частном будет меньше, чем 8. Проверим, подойдет ли цифра 7. Умножим 56 на 7, получится 392. 414-392=22. Остаток меньше делителя. Значит, цифра подошла и в частном на месте десятков можем записать 7.

Пишем в строку с новым остатком 4 единицы. Значит следующее неполное делимое – 224 единицы. Продолжим деление. Разделим 224 на 56. Чтобы легче было подобрать цифру частного, разделим 224 на 50. То есть сначала на 10, будет 22 (остаток 4). И 22 разделим на 5, будет 4 (остаток 2). 4 – это пробная цифра, проверим ее, подойдет ли она. 56*4=224. И мы видим, что цифра подошла. Запишем 4 на месте единиц в частном. 224-224=0, деление выполнено без остатка.

Значение частного чисел 15344 и 56 равно 274.

Обучение делению с остатком

Когда ребенок усвоит материал о делении, можно усложнять задачу. Деление с остатком – это следующая ступень обучения. Объяснять нужно на доступных примерах:

• Предложите ребенку разделить 35 на 8. Запишите в столбик задачу.
• Чтобы ребенку было максимально понятно, можно показать ему таблицу умножения. В таблице наглядно видно, что в число 35 входит 4 раза число 8.
• Запишите под числом 35 число 32.
• Ребенку нужно от 35 вычесть 32. Получится 3. Число 3 является остатком.

Деление с остатком

Простые примеры для ребенка

На этом же примере можно продолжить:

• При делении 35 на 8 получается остаток 3. К остатку нужно дописать 0. При этом после цифры 4 в столбике нужно поставить запятую. Теперь результат будет дробным.
• При делении 30 на 8 получается 3. Эту цифру нужно записать после запятой.
• Теперь нужно под значением 30 написать 24 (результат умножения 8 на 3). В итоге получится 6. К цифре 6 тоже нужно дописать ноль. Получится 60.
• В число 60 помещается цифра 8 входит 7 раз. То есть, получится 56.
• При вычитании 60 от 56 получается 4. К этой цифре тоже нужно подписать 0. Получается 40. В таблице умножения ребенок может увидеть, что 40 – это результат умножения 8 на 5. То есть, в число 40 цифра 8 входит 5 раз. Остатка нет. Ответ выглядит так – 4,375.

Данный пример может показаться ребенку сложным. Поэтому нужно много раз делить значения, у которых будет остаток.

Основные понятия

Во всем мире принято использовать эти десять цифр для записи чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью создается любое натуральное число.

Название числа напрямую зависит от количества знаков. Однозначное — состоит из одного знака. Двузначное — из двух. Трехзначное — из трех и так далее.

Разряд — это позиция, на которой стоит цифра в записи. Их принято отсчитываются с конца.

• Разряд единиц — то, чем заканчивается любое число.
• Разряд десятков — то, что находится перед разрядом единиц.
• Разряд сотен стоит перед разрядом десятков. На место отсутствующего разряда всегда можно поставить ноль.

Вычитание — это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. Большее число называется уменьшаемым, меньшее — вычитаемым. Результат их вычитания — разностью.

Вычитание нуля из числа не изменяет этого числа. a — 0 = a Если из числа вычесть само это число, то разность равна нулю. a — a = 0 Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое. a — (b + c) = a — b — c Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из одного слагаемого и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых. (a + b) — c = (a — c) + b = a + (b — c) Чтобы прибавить разность к числу, можно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое. а + (b — c) = a + b — c

Алгоритм вычитания в столбик

Вычитать столбиком проще, чем считать в уме, особенно при действиях с большими числами. Этот способ наглядный — помогает держать во внимании каждый шаг.

Рассмотрим алгоритм вычитания в столбик на примере: 4312 — 901.

Шаг 1. При вычитании столбиком самое главное — правильно записать исходные данные, чтобы самая правая цифра первого числа была под правой цифрой второго числа.

Большее число (уменьшаемое) записываем сверху. Слева между числами ставим знак минус. Вот так:

Шаг 2. Вычитание столбиком начинаем с самой правой цифры. Вычитаем по цифре (знаку). Результат записываем под чертой.

Шаг 3. Далее вычитаем из второй цифры справа: из «1» ноль.

Шаг 4. Теперь нам нужно вычесть из «3» девять. Это сделать невозможно. Поэтому займем десятку у соседа слева от тройки. Это цифра «4». Поставим над четверкой точку. Занятый десяток прибавим к «3»: 10 + 3 = 13.

Из «13» вычтем девять: 13 − 9 = 4.

Так как мы заняли десяток у «4», значит четверка уменьшилось на единицу. Об этом нам напоминает точка над «4»: 4 − 1 = 3. Вот, как это выглядит:

Рассмотрим пример вычитания в столбик чисел с нулями: 1009 — 423.

Шаг 1. Запишем числа в столбик. Большее число ставим сверху.

Вычитаем справа налево по одной цифре.

Шаг 2. Так как из нуля нельзя вычесть «2», занимаем у соседней цифры слева (ноль). Поставим над «0» точку. У нуля занять нельзя, поэтому смотрим на следующую цифру. Занимаем у «1» и ставим над ней точку. Теперь вычитаем не из нуля двойку, а из «10». Вот так:

Запоминаем!
Если при вычитании столбиком над нулем стоит точка, значит ноль превращается в «9».

Шаг 3. Над нулем стоит точка, поэтому нуль превращается в «9». Вычитаем из «9» четыре: 9 − 4 = 5.

Над «1» стоит точка. Единица уменьшается на «1»: 1 − 1 = 0. Если в результате разности левее всех цифр стоит ноль, то его записывать не надо.

Признаки делимости

Для разбора алгоритма деления 2 значений, которые являются внетабличными (отсутствуют в таблице умножения), необходимо обозначить элементы операции. Пусть дано некоторое выражение v: t = p. Коэффициенты в нем расшифровываются следующим образом:

1. V — делимое, т. е. число, которое требуется разделить.
2. T — математики называют его делителем.
3. P — частное является числовым результатом, который будет получаться при делении двух величин.

Иногда в литературе с физико-математическим уклоном можно встретить такую запись: v / t = p. Кроме того, числа классифицируются на простые и составные. К первой группе относятся все значения, которые делятся без остатка только на 1 или на значение равное исходному, т. е. 23 делится на 1 и на 23, а остальных делителей у него нет вообще. Вторая группа — значения, состоящие из нескольких множителей. Например, 100 = 25 * 4 = 5 * 5 * 2 * 2.

Десятичная система состоит из однозначных цифр, формирующих двузначные, трехзначные, четырехзначные, пятизначные числа (количество разрядов можно продолжать до бесконечности). Для деления двухзначного значения на однозначное без остатка необходимо знать следующие свойства (признаки деления):

1. 0: операция невозможна, поскольку превращает все выражение в пустое множество.
2. 1: делятся все значения.
3. 2: последняя цифра является четным значением, т. е. 0, 2, 4, 6 и 8.
4. 3: сумму цифр, составляющих число, можно разделить на 3. Например, проверить возможность деления 72 на 3. Для этого следует применить такое правило: 7 + 2 = 9. По таблице умножения 9 делится на 3 без остатка. Следовательно, 72 делится на 3.
5. 4: сумма двух цифр делится на 4. Если представлено 5-значное число, то нужно рассматривать 2 последних цифры.
6. 5: последней цифрой является 0 или 5.
7. 6: деление на составные части, т. е. на 2 и 3.
8. 7: возможность выполнения операции определяется по формуле / 7, где а, b и с — соответствуют первой, второй и третьей цифрам. Для двузначной величины — a / 7 и b / 7.
9. 8: должно делиться на 2 и 4. Если количество цифр больше 2, то следует рассматривать делимость без остатка трех последних цифр.
10. 9: деление по таблице умножения. Если число состоит из трех и более цифр, то следует рассматривать деления их суммы на 9.

Многозначные числа

Сложнее всего детям даются задачи на трехзначные и четырехзначные числа. Четверокласснику тяжело оперировать тысячами и сотнями тысяч. У школьника возникают следующие проблемы:

1. Не может определить неполное число делимого для первого действия. Вернитесь к изучению разрядов натуральных чисел, поработайте над развитием внимания малыша.
2. Пропускает 0 в записи частного. Это самая распространенная проблема. В результате у ребенка получается число на несколько разрядов меньше правильного. Чтобы избежать этой ошибки, нужно распечатывать памятку с последовательностью действий в примерах, где в середине частного есть нули. Предложите ребенку тренажер с такими заданиями для отработки навыка.

При обучении решению задач с крупными (многозначными) числами действуйте поэтапно:

1. Объясните, что такое неполное делимое и зачем его выделять.
2. Потренируйтесь в поиске делимого устно без последующего решения задач. Например, дайте детям такие задания:

Найдите неполное частное в примерах: 369:28; 897:12; 698:36.

1. Теперь приступайте к решению на бумаге. Запишите столбиком: 1068:89.
2. Сначала нужно отделить неполное делимое. Можно использовать запятую сверху над числами.

106’8:89

1. Подбирайте частное на отдельном листочке или посчитайте в уме.
2. Распишите результат.
3. Внимательно отнимайте цифры от делимого. Следите за тем, чтобы результат после вычитания был меньше делителя.
4. Продолжайте деление до конца, пока не получится 0.
5. Придумайте еще несколько похожих примеров без остатка. Степень сложности увеличивайте постепенно.

Задания для домашней работы

Задания для домашних работ для 3 класса (3 четверть)

1. Реши примеры.

а) 5 * 6 + 64 : 8 =	б) 18 : 9 + 37 * 2=	в) 31 * 3 – 56 : 8 =	г) 70 – 51 : 3 * 4 =
д) 9 * 4 – 28 : 7 =	е) 7 * 16 – 80 : 8 =	ж) 11 * 5 – 49 : 7 =	з) 68 – 19 + 30 : 2 =

2. Реши задачу.

В ящик помещается 12 пачек печенья. Сколько всего пачек печенья помещается в 5 ящиков?

3. Реши задачу.

В книжный магазин привезли 88 учебников, которые упакованы в коробки. Сколько коробок с книгами привезли, если в каждой коробке находится 11 учебников?

4. Реши примеры.

а) 17 * 0=	б) 12 : 1=
в) 24 * 1 =	г) 21 : 1 =
д) 0 * 32 =	е) 0 : 15 =

5. Реши задачу.

В пекарне из 15 кг муки испекли 45 тортов. Сколько килограмм муки необходимо, чтобы испечь 60 тортов?

6. Реши задачу.

На складе находилось 45 кг сахара. Дополнительно привезли 4 мешка по 8 кг сахара в каждом, а затем со склада увезли 10 кг сахара. Сколько килограмм сахара осталось на складе?

7. Реши примеры и проверь операцию деления умножением.

а) 48 : 6 =	б) 12 : 4=
в) 24 : 8 =	г) 21 : 7 =
д) 15 : 3 =	е) 0 : 15 =

8. Реши уравнения.

а) X * 18 = 72

б) 90 : Y = 30

в) 21 : X = 3

г) Y * 6 = 42

9. Реши ЗАДАНИЯ по геометрии.

a) Начерти c помощью линейки 3 отрезка. Длина первого отрезка равна 5 см, второй отрезок на 3 см длиннее первого, а третий отрезок в 2 раза короче второго.
б) Найди и выпиши все прямые, тупые и острые углы у фигур, изображённых на рисунке.

а) 17 * 3 =	б) 52 : 4 =
в) 19 * 4 =	г) 48 : 2 =
д) 12 * 5 =	е) 69 : 3 =
ж) 22 * 3 =	з) 17 * 4 =
к) 13 * 5 =	л) 75 : 5 =
м) 96 : 4 =	н) 69 : 3 =

11. Реши задачу.

Школьная бригада собрала в саду 36 кг яблок и 20 кг груш. Весь урожай разложили в ящики по 4 кг. Сколько ящиков понадобилось?

Задания для домашней работы для 3 класса (4 четверть)

1. Реши примеры.

а) 210 * 4 =	б) 840 : 4 =
в) 6 * 120 =	г) 660 : 3 =
д) 220 * 4 =	е) 490 : 7 =
ж) 190 * 3 =	з) 360 : 6 =
к) 3 * 280 =	л) 140 : 2 =
м) 110 * 7 =	н) 640 : 4 =

2. Реши примеры.

а) 970 – 50 =	б) 320 + 50 =
в) 520 – 10 =	г) 630 + 90 =
д) 320 – 30 =	е) 230 + 90 =
ж) 220 – 20 =	з) 590 + 50 =

3. Реши задачу.

Для ремонта школы привезли 160 мешков цемента и 440 мешков песка. Сколько мешков строительного материала потребовалось для ремонта, если после ремонта осталось 250 мешков?

4. Реши задачу.

Фермер вырастил 230 ц картофеля и 140 ц капусты. 360 ц овощей отправили в школьную столовую. Сколько центнеров овощей осталось у фермера?

5. Реши уравнения.

а) 7 * х = 490
б) у : 9 = 70
в) a – 560 = 120
г) b + 380 = 960

6. Реши задачу.

На автостоянке стояло 84 легковых и несколько грузовых машин, которых было на 63 машины меньше, чем легковых. Во сколько раз грузовых машин меньше, чем легковых стояло на автостоянке?

7. Реши примеры столбиком.

а) 984 – 159 =	б) 523 + 369 =
в) 523 – 459 =	г) 374 + 579 =
д) 319 – 198 =	е) 130 + 379 =

8. Реши примеры.

а) 24 * 8 + 336 : 6 + 88 =
б) 16 * 9 + 342 : 2 – 146 =

9. Реши задачу.

На продуктовом складе находилось 64 мешка с сахаром и несколько мешков с мукой, которых было на 56 штук меньше, чем мешков с сахаром. Во сколько раз мешков с мукой меньше, чем мешков с сахаром находилось на складе?

Алгоритм деления столбиком

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором — дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число — 14, так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4.

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x=14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ, включая нуль : , 1, 2, 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x. Когда в результате умножения получается число 14, записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делителем. Если в результате умножения получается число, большее чем x, то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4·=<14; 4·1=4<14; 4·2=8<14; 4·3=12<14; 4·4=16>14.

Под выделенным числом записываем число 12, полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3.

3. Столбиком вычитаем  из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем. 

4. Число 2 меньше числа 4, поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следующую цифру делимого — . В итоге отмечаем новое рабочее число — 20.

Важно!

Пункты 2-4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.

2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20. Умножая 4 на , 1, 2, 3..  получаем:

4·5=20

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 — множитель, на который проводилось умножение. 

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20-20=.

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап — еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае — число 2.

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты  алгоритма.

2. Умножаем делитель на , 1, 2, 3.. и сравниваем результат с отмеченным числом.

4·=<2; 4·1=4>2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число , и под делителем в следующий разряд частного также записываем .

3. Выполняем операцию вычитания  и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8, так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число — 28. Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого — 8. В последний раз повторяем пункты алгоритма 2-4 и получаем:

В самой нижней строчке записываем число . Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072. Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9.

Запишем:

После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:

Повторим цикл:

Последний проход, и поучаем результат:

Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792, а остаток равен 8.

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим число 7042035 на 7.

Ответ: 1006005